УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

изводная выступает как вторичное понятие в виде дифференциаль" ного коэффициента. Но со времени фундаментальных работ Лагранжа, т. е. с 1797 г., производная выступает как первичное, основное понятие дифференциального исчисления, и до настоящего времени она является фундаментальным понятием математического анализа и всех его прикладных отделов и направлений. Лагранж ввел термин „производная 11 и обозначения у' или / ' ( * ) • Примеры для упражнения 13. Найти производные для функций: а) у = 2х — 5; 6 ) у = 10 — 4х; в) у = х; г) у = 5 ; д) у = х2; е) у = х3; ж) у = х4. Какой реальный смысл имеют выражения у ' — 0 и у ' = с? 14. Найти скорость и ускорение движе­ ния, закон которого имеет вид: _у= 2 л:3— — Зх2— \2х + 1 . Вычислить путь, скорость и ускорение для момента времени х = 3 сек. . j v 15. Найти уравнение касательной к кри- вой у = (х — I )3 + 1 в точке с х = 1 , а так- же те касательные, угловой коэффициент в уравнениях которых равен 2 . 16. Рельс длиной в 12 м поднимается за один конец краном вертикально вверх со < скоростью 2,5 м/сек. Другой конец рельса скользит по земле с некоторой скоростью. Определить эту скорость в конце 4-й секун- Чертеж 11. ды (черт. 1 1 ). Дополнение к понятию о производной. Из сказанного следует, д .. что производная — это предел некоторой функции, т. е. Пт при Ах —> 0. Но предел функции в точке может существовать, а может и не существовать, поэтому возникает вопрос об условиях существования производной в рассматриваемой точке. В любой ли точке функция может иметь производную? Каковы необходимые признаки существования производной в рассматривае­ мой точке? Для ответа на эти вопросы рассмотрим следующую теорему: если функция у —f (х) в точке х имеет производную, то в этой точке данная фуккция н е п р е ры в н а . В рассматриваемой точке х дадим приращение аргумента Ах и выразим приращение функции Ду так: Ау = — 'Ах. Переходя к пре­ делу при Ах— *0, получим: дV lim Ду = lim — •lim Ах —у'-0. Ах Так как у' в рассматриваемой точке есть некоторое число (пре­ дел), то у'- 0 = 0, поэтому НтДу = 0, т. е. бесконечно малому Дх Длг -»о соответствует бесконечно малое Ау, значит, в рассматриваемой точке х функция у —f(x ) — непрерывна. Итак, непрерывность функции в точке является необходимым признаком существования производной в точке. Отсюда: непрерывность функции является важнейшим свойством функции. Рассматривая движение, мы привыкли мыслить его непрерыв­ ным, поэтому для любого момента времени можно ставить вопрос об определении его скорости. .8* ’ 115