УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Дадим приращение Дх аргу- I. Для некоторого Дх най- менту х. дем у х\ I. Найдем значения функции _yt =_у + Ду = 2-(х + Дх)2— ДЛЯ — 3 (х + Дх) + 5 = 2х2 + х, = х + Дх, т. е. у-\-Ау = / ( х + Дх). + Ах-Ах + 2 (Ах)2 — Зх — II. Найдем приращение функ- _ здх 5 _ ции Ду: Д у = / ( х + Д х )- / (х ) . II. Найдем Ду: Ду =_у, —у = 4х-Дх + ДV III. Найдем отношение — : + 2*(Дх ) 2 — З-Дх. Ах Av _ /(х + Ах) — f(x) III. Найдем — : Ах Ах Ах IV. Найдем д*~ ~ — 3 + 2-Дх. lim ^ L — lim / ( *+ * * )- f ix ) Av A™oAx “ д Г о Дх ' IV. Найдем lim ^ : Д* о ьх lim — = lim(4x—3+ 2 -Дх) = Дх -» 0 Д х Дл- о I 4х - 3. lim — принято обозначать у ' и называть производной (в при- Дл-» 0 Дх мере — у ' = 4х — 3). О п р е д е л е н и е . Производной функцией у' от данной функции у = / (х) называется предел отношения приращения функции к соот­ ветствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. у = / ' ( * ) = Пт ДЛ - 0 Д х При конкретном значении х у ' будет числом, которое называется производным числом, но при произвольном х у ' будет функцией от х, называемой производной. Общее правило нахождения производной от у = / ( х ) . I шаг. Для некоторого Дх находим у, = у + Ду = / ( х + Дх). I I шаг. Находим Ду: Ду = _у, — у — f ( x + Дх) —/ ( х ) . IIIшаг. Находи!и — : — = iS- + .^х) ~ _ Ах Ах Ах IV шаг. Находим у': у ' = lim — . Д х -> 0 Дх Из предыдущего следует, что при определении скорости пере­ менного движения и при построении касательной мы имеем дело с понятием производной. Таким образом, производная имеет реаль-< ный смысл: а) физический или механический—скорость движения в данный мо­ мент времени; б) геометрический — угловой коэффициент касательной к данной кривой. Это открывает для производной путь к широким приложениям в геометрии и механике (в широком смысле). В истории математического анализа к понятию производной вплотную подошел Архимед, а в XVII веке одновременно ряд выдаю­ щихся математиков Франции, Италии, Англии, Германии и других стран разработали новый метод, в основе которого лежит понятие производной. Однако в первое столетие существования анализа про­ 114