УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Если же касательная рассматривается в любой произвольной точке кривой, то угловой коэффициент ее будет функциейот х. П р и м е р . Построить касательную к кривой у = 1 + х 2 в точке с х = 2 . Для построения касательной следует найти ее уравнение, а затем по уравнению построить- соответствующую прямую. Если х — 2, то соответствующее у = 1 + 2 2 = 5, т. е. точка касания М ( 2; 5). Уравнение пучка в точке М: у — 5 —К (х — 2). Для определения К, на основе предыдущего, проделаем сле­ дующее: I. Для некоторого Ах найдем у х= у + Ду: у + Ду = 1 + (х + Дх ) 2 = 1 + х 2 + 2х-Дх + (Дх)2. И. Найдем Ду: Ау = 2х-Дх + (Дх)2. III. Найдем /Ссек. : Ксек, = ^ = 2х + Дх. IV. Найдем ЛГК : Кк., = lim — = lim (2х + Дх) = 2х. С' К* С- Д - Г - о Д * Ддг-*0 ^ к а с . = 2 - 2 = 4 (при х = 2). Искомое уравнение касательной будет иметь вид: > у — 5 = 4 (х — 2) или у — 4х — 3. (Построение касательной не вызывает вопросов, см. черт. 9). Примеры для упражнений 10. Найти уравнение касательной к кривой у — 2 — Зх2 в точке С х = 1; к кри­ вой у «= х 3— 1 в точке с дг= — 1 ; к II. Найти уравнение касатель­ ной к кривой у = х2 + х + 1 , ко­ торая образует с осью лг-ов угол, равный 45°, а к кривой у — х 3+ + х2— х + 1 так, чтобы она с осью л:-ов составляла угол в 135°. 12. Найти уравнения касатель­ ных, параллельных осилг-ов.для кри­ вых у = х 2— х + 1 и у = — х 3 + + х1— Зл: + 1 . 4. Определение производной Пусть мы имеем произ­ вольной природы функцию у = / ( х ) и ее график (черт. 1 0 ). Для примера рассмотрим функцию у = 2х~ — 2х + 5. Б-ш ,—8 113 кривой у = — в точке с х = 2 . х