УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Из чертежей 6 и 7 видно: если прямая и кривая имеют только одну общую' точку, то прямая может еще не быть касательной, а будет просто пересекать кривую в этой точке. б) Решение задачи о касательной (Впервые решена французскими математиками П. Фермам Р. Декартом около 1629—30 года) З а д а ч а . К кривой у = / ( х ) в точке с х = х, провести касатель­ ную. Для х = х, ордината y x— / (х ,) , тогда точкой касания является точка vVf(x,; _у,) (черт. 8 ). Уравнение ‘пучка прямых, проходящих через точку М, имеет вид: У ~У\ = k(x —x{). К = * ^,сек. Для получения уравнения касательной [необходимо определить ее угловой коэффициент: £ = tgtp. Пусть для; некоторых х2 имеем y 2= f ( x 2) и N (x2; _у2), a MN — будет секущей.^Тогда угловой коэф­ фициент секущей легко найти: ■ У*—Уг Х 2 — Х х По определению касательной, eel угловой коэффициент будет предельным значением углового коэффициента секущей, когда точка N неограниченно приближается к точке М. Тогда ^кас = И т ^ Гсек = lim У2:ГУ'~ = Нт N-*M х 2 - л-, Х 2 — JC, Д * - 0 Д Х Уравнение искомой касательной будет: У ~У\ = 1«т ^--(х — х,). д.»_ о Ах Таким образом, угловой коэффициент касательной есть предел отношения приращения ординаты к соответствующему приращению ее абсциссы точки касания, когда последнее стремится к нулю. Если касательная рассматривается в указанной точке с х = хи то узловой коэффициент ее будет определенным числом (если пре­ дел — при Дх —»0 существует^ . Д л ] 112