УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

П р и м е р 1. Пусть 5 = 5 0 + l / 0 M — -— закон равномерно-пере­ менного движения, где 5 0 — начальный путь, V0 — начальная скорость ий—ускорение движения. Определить Vt — скорость в любой момент времени. / шаг. Для некоторого At, найдем 5, = 5 + Д5: 5, = 5 + Д5 = 5 0 + V0(t + At) + j ( t f ДО 2 = = 5 0 + V0t + ^ + V0M + atAt + ( | (Д/)2) . II шаг. Найдем приращение пути Д5: AS = 5 , - 5 = V0-At + at-At +^-(Aty-. /// шаг. Найдем среднюю скорость: V * . - % - V , + t + f U . /V шаг. Найдем мгновенную скорость: V(l) = lim V = lim — = lim ( V0 + at + — дЛ = VQ+ at, Д- о p' д<- о M д/ —о \ 2 J следовательно, скорость в данный момент времени для равномерно­ переменного движения имеет вид: V it)■= V0 + at. З а м е ч а н и е . При переходе к пределу при At —>0 переменной величиной является At, a t в этом случае остается постоянной (t — произвольное, но фиксированное). Результат показывает, что V (t) — функция от t, т. к. t есть произвольное значение аргумента. П р и м е р 2. Закон движения имеет вид: 5 = 2t'3 + 100 (м). Найти общее выражение для скорости в любой момент времени и вычислить скорость для t = 2 и t = 10 (сек.) (Это уже не равномерно­ переменное движение, поэтому формулами последнего мы восполь­ зоваться не можем). I. Для некоторого At найдем 5 + Д5: 5 + Д5 + 2 (Л- Д/)3+ 1 0 0 = 2 /3+ 6t2-At + + 6/-(Д02+ 2(Д*)3+ 1 0 0 . II. Найдем Д5: Д5 = 6 / 2 • At + 6t • (Atу- + 2 •(ДО3. III. Найдем 1 / р : I/ = — = 6 ^ 2 + 6 /-Д/ + 2(Д02. СР- д^ IV. Найдем V (t): V (t) = lim [6 1°- + 6t-At + 2 (Д/)2]= 6 г2. At - 0 Итак: l/m = 6 t*(— \m \c e n j При t = 2 сек., l/=fc 6 ‘ 2 2 = 24— ; при /= 1 0 с е к . V = 6-10 2 = 6 0 0 - сек сек " З а м е ч а н и е . На этом примере следует вновь подчеркнуть, что при конкретном значении t, V(t) — будет числом, а для произволь­ ного t выражение V (t) — является функцией от t*. К этому примеру полезно поставить ряд дополнительных вопро­ сов типа: * Ускорение есть скорость изменения скорости, поэтому тем ;ке> путем можно кайти ускорение a (t) от выражения скорости V (*)• 107