УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

2х2 + 2 х - 1 з в) у — — -- —— - = 2 — ---------- х2+ х+\ х2+ х + 1 3 оо до — (см. пример 32 а), 4 . х2 + х + 1 на H I ) убывает от значит, ■ __{ — оо; — —^ — возрастает от 0 до 4 (нулевых х —f-х 1 \ 2 J значений это выражение не принимает, а лишь асимптотически приближается к нулю). 2 ' / 1 \ Следовательно, 2 — ---------- на ( — оо; — — 1 убывает (т. к. в данной разности х2 + х + 1 \ 2 / 4 а вычитаемое уменьшаемое постоянно, возрастает), но ограниченно: от (2 — 0) (усло- 3 выражение х2+ 'х + I возрастает от — до оо, вно) до (2 — 4) = — 2. На 3 поэтому X2+ X + 1 - убывает от 4 до 0 (асимптотически), а 2 — воз- X2+X+ I растает от 2 — 4 = — 2 до 2 — 0 (асимптотически). Итак, при х = — — у — дости­ гает минимума, равного — 2; на ^ — оо; — у — убывает, а на ( — 00) —воз­ растает, асимптотически приближаясь к прямой у = 2 (черт. 52). X в с 1 / ! / ✓ • 0 1 / . 1 / -2 / \ / у Г \ / у ' \ / у \ / / ' Чертеж 53. г) у = х + — область определения: (— оо; 0) и (0; оо). При х = К, и х = — К значения функции одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку, значит данная функция имеет график, симметричный относительно начала коорди­ нат, поэтому исследуем функцию лишь на (0; оо). При данную функцию можно ак: у = ( V * ) 2+ ( f j ) 2 + 2 = ( V ? — + 2> представить т : откуда сле­ дует, что у > 2, т. е. при х = 1, у = 2 — есть минимальное значение. Следовательно, на (0; 1) функция унывает от оо до 2, а на (1; оо) возрастает от 2 до оо. Покажем, что значения у неограниченно приближаются к биссектрисе коорди­ натного угла, т. е. к прямой у = х. Для этого найдем разность значений этих двух функций: 1 Выражение этой разности — , при х стремящемся к оЪ, стремится к нулю, но нуле­ вого значения не принимает, следовательно, точки графика данной функции прибли­ жаются к биссектрисе координатного угла. График функции см. черт. 53. Итак, на (— оо; — 1), у — возрастает от — оо до — 2; на (— 1; 0), [у— убывает от — 2 до — оо; на (0; 1), у — убывает от оо до 2; на (1; оо), у — возрастает от 2 до оо. 100