ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1972 Г.

Г.Л.ФОМИН ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ ШТЕЙНГАУЗА Пусть С р s { f t C X ) } ( к * о, 1 , . . . ) - ортонормирован- ная на отр е зк е СЛ, $ 7 система вещественных функций,та­ кая, что *<»<),•<>•••, X в С9 , 8 ] , ^ „ ( х ) ХГ <Хх c e n s t . , Х € Г « Д э . Из условия ортонормированности легко находим: f . (х) * <Х = 4//Т7аГ , * « Рассмотрим ортогональный ряд: d ( « ) = T ' Q k ^ k (X ) tteO с действительными коэффициентами { Я* } , у которого в се частные суммы <$п l * ) , n s 0 , 1 , . неотрицательны на . Не следует ли из последних усл овий ,что ряд <&*) является ортогональным разложением (рядом Фурье) некоторой функции f(X)€ L,C*,t3 ? Эта проблема впервые» была поставлена (Итейнгаузом в 1925 году для тригонометрических рядов ( смДельеон , Г12 ) . Лишь в 1965 году Кацнельсон [ 2 1 дал отрицательное её решение.Пал и Шип [ 3 1 .показали,что эта проблема име­ ет отрицательное решение и для рядов Хаара. Естественно поставить вопрос о тех условиях.при кото­ рых проблема Штейнгауэа для ряда <f<*> имеет отрицатель­ ное (положительное ) решение.Этому вопросу и посвящена данная статья. Основной в этом направлении является следующая т е ор е -