ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1972 Г.

1 2 2 задачи / I / / 2 / , удовлетворяшее условию IKPar,)!/ Ж- ff'o ^ £ Ш. Для всех ( х t , близких к , первая вариация Ф >-j ф (<s) < / : У ‘<Чi 1т Ср ___ о ( дМи) есть равномерно эллиптическая оператор, дня которого задача / I / - / 2 / однозначно разрешима в пространствах * 4 п 1 ' \ д > Л t y f f b ) Яrrt * к ■» Теорема П. Если и , д ) f Wp ( -Q ) - начаяъ нов приближение и I ф ( ^ с ) Ц < г 0 р ■, г £ , то при достаточно малом t •>о существует единственное решение ' u i x i t \д/|,3гт7+ * ( л ' задачи / I / - / 2 / . Отметим, что решение, существование которого утверждается в теореме, является функцией гораздо менее гладкой, чем начальное приб - лижение. Доказательство. Образуем последовательность приближений u , f x ) , сочетая итерационный процесс Ньютона I- со сглаживанием посред ~ ством операторов <ф ■х 16 - f e = - 7 " Ф ( ь - п ) . Сглалшвание полученных приближений позволяет возместить поте - рю гладкости, которая происходит на-каждом таге. Действительно, если ц с е IV,? ( SI > , то коэффициенты оператс ■ ра будут в силу теорем вложения элементами пространства г" л ("-Я) , если v - достаточно большое число и, следовательно, [ Ф ' Г и „ > J о р ( и ^ ) в лучшем случае принадлежит пространству w '? р ! я ’ , т .е .