ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1972 Г.

•108 Пусть дал ее: 1 ) Уп является полной^ конечной мерой на Е 8 ) V 2 ) ч) имеет аГ-конечную вариации 3 ) для каждых Z 2Г t а <= Y Тогда существует такая функция f .определенная на , со значениями в В ( Х * 2 ^ У .ч т о Ш = Ю \ hfy , Д ока за тел ьств о. Скалярная функция ^ X ; у " * ( £ ) - <■ X > счетно аддитивна и конечна на 2 ; сверх т о г о , y v x < 5 = . Следо­ ва тельн о, по теореме Радона-Никодима, существует такая trt -интегрируемая функция Л № = 4 4 ^ Очевидно,дая любого f , что Jx для всех ИхИ 5 / £ € 2 т - почти вскду ( 1 ) , множество вещественных х е Х \ix Пусть A / V s . r w • IV -интегрируемых функций на пространстве с мерой ^ 3 , <С, у > эт0 множество можно рассматривать как частично упорядоченное, если считать J :►$ ' х» ^^ тогда и только т о г д а , когда 4 (s ) / , >ь,-почти всюду. При таком упорядоче НИИ b * ( S f £ , sr?) будет полной структурой (см . [ ф У . 8.22 "fj Положительная мера ы называется полной'*на' t l ^ёслй иа f e S / c f и /*(Е) = 0 сл ед у е т ,ч т о /Г'еИ Г о в ор я т ,ч т о мера со значениями в банаховом пространстве имеет (S'-конечную вариацию.если ее вариация(определение вариации см. £ 5 3 ,с т р . I l l ) б'-конечна. у Символ _/* Z1 -векторные меры со значением в оа- паховом простран стве )о зн а ч а е т ,ч т о S\ абсолютно непрерывна относительно ^ , т . е . ^.(е)-Скак только вариация .р* на множестве £ равна нулю.