Материалы межвузовской научной конференции математческих кафедр педагогических институтов центральной зоны РСФСР 1968г

т в.т.спицын (Воронеж) ПОЛЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ных Пусть £ = ? ( ъ р - непрерывная функция двух действитель- переменных, определенная на интервале У * £ / # , < х * 6 ,-,<К*Ы\ Непрерывной поверхностью -£ (3 ) , определяемой этой функ­ цией, называется множество точек £ 2 = £ ( х ,ч ) I Мы ограничимся рассмотрением непрерывных функций ограни­ ченной вариации в смысле Тонелли / % / , а , значит, и ограни­ ченной плоской вариации / ' / , так как в / / / показано, что если непрерывная функция имеет ограниченную вари­ ацию в смысле Тонелли, то она будет и ограниченной плоской вариации и наоборот. Множеством уровня функции £ ( х , р называется множе­ ство всех точек — ~Ь. В работе ш дана топологическая характеристика типич­ ных множеств уровня, т .е . множеств £*£ для всех значений ~Ь , кроме счетного множества или множества меры- нуль таких значе­ ний. Мы будем изучать поле направлений, определенных касатель­ ными к множествам уровней. Такая характеристика множеств уровней специальной функ­ ции - расстояния до множества дана в / V ; см.также / V . Для функций же с ограниченной вариацией аналогичная характе­ ристика множеств уровней легко следует из / / / , правда, только ,,,дл почти всех уровней относительно линейной меры Лебега. Мы установим наличие касательных к множествам уровней для всей поверхности с точностью до множества меры нуль. Определение. Плоское множество Ж имеет в точке оС прямую е касательной, если каков бы ни был сектор 0 . с вершиной еС и биссектрисой (, , найдется такое Ъ * > 0 , что в круге ($?<*_