Материалы межвузовской научной конференции математческих кафедр педагогических институтов центральной зоны РСФСР 1968г

123 ' у ' \ Ф п - г . с& 1 + Е } \ - г . ' ~ 0 ( 5 ) , х , У = ( 6 ) формулами (6 ) определяется квадратичное преобразование, в котором кривая (5 ) отображается сама в себя . Отсюда следует ТЕОРЕМА 2 . Всякая кривая с ( п - Л ) -кратной точкой, у которой каждая из касательных в кратной точке пересекает её в бесконечно удалённой точке, является инвариантной в квад­ ратичном преобразовании ( б ) . Подвергнув произвольному проективному преобразованию кривые ( 5 ) , получим на основании теоремы 2 более общую ТЕОРЕМУ 3 . Если у кривой п. -г о порядка с ( п -^-кратной точкой касательные в кратной точке пересекают её в простых точках, лежащих на одной прямой, то такая кривая является инвариантной по отношению к квадратичному преобразованию. Из свойств (3 ) и (4 ) преобразования (2 ) сл едует, что точки прикосновения касательных, проведенных из начала О к кривой ( I ) принадлежат.кривой ( 1 3 ) . Эти точки принадлежат и кривой 2 &П . * § ° п .- У “ О ( 7 ) , что непосредственно усматривается из уравнений ( I ) и ( 3 ) . Но образом кривой (7 ) в преобразовании (2 ) служит уникурсальная кривая * ¿ ^ ./^ ( 8 ) .. Следовательно, число касательных, которые можно провести к кривой ^ из ( л - * ) -кратной точки равно числу ¿ ( л - г ) точек /отличных от кратной/ пересечения её с кривой ( 8 ) . Отсюда следует ТЕОРЕМА 4 . Точки касания касательных к неприво­ димой кривой П - г о порядка ^ , проведённых из ( п - Л ) -крат­ ной точки О этой кривой, лежат на кривой ( л - / / - г о порядка с ( д .-Д ) -кратной точкой, совпадающей с кратной точкой кри­ вой • 3~ • ПРИ 9Т0М касательные к обеим кривым в их общей кратной точке О совпадают.