Материалы межвузовской научной конференции математческих кафедр педагогических институтов центральной зоны РСФСР 1968г

I," Каждой точке М ( х \ у '^соответствует, вообще говоря, только одна точка и наоборот. Исключение представляв, собою начало координат 0 и точки пересечения прямых, опре- деляемых уравнением = О , с бесконечно удалённой пряно», Образы этих точек формулами (2 ) не определяй. Иначе: им соо,. .ветствуют прямые, проходящие через начало координат. ' 2 . Прямая, проходящая через начало координат, преобра­ зуется сама в себя . 3 . Кривая % - % . г - о а ) является точечно инвариантно,, ц. Подставив в уравнение ( I ) вместо СС. и ^ их выра­ жения по формулам ( 2 ) , убедимся, что кривая ^ п р ео бр а зу ет ся сама в себя . Таким образом, справедлива ТЕОРЕМА I . Всякая кривая п. -г о порядка с ( п <2)-кратной точкой бирационально эквивалентна сама с е б е . Из этой теоремы можно получить ряд следствий. Так, напршер, при / г - 3 получим известное утверждение: * Всякая неособая неприводимая кривая третьего порядка бирацио­ нально эквивалентна сама се б е . Совокупность всех касательных к кривой в её -крат­ ной точке определяется уравнением 5&_г ~ 0 ( 4 ) . Любая иа эти касательных пересекает еще в одной простой точке. Все эти точки, принадлежат уникурсальной кривой /г, - г о порядка о ( п - - - / ) -кратной точкой в начале координат: г- - 0 \ что очевидно из уравнений ( / ) и ( V ) Предположим теперь, что каждая из касательных в особой точке к пересекает её в бесконечно удалённой точке. Тогда должно .выполняться такое равенство / «Д -числовой множитель, -однородный многочлен второй степени от •Х . ^ / . При этом условии уравнения ( I ) и (2) примут соответственно вид: - 122 -