УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 1967 г. ВЫП.1

Обозначим: ^ Х . - .Х ^ 2 _ 0^ Ш (20) к К и назовем У(*) обобщенной степенью переменного г а порядка к. По индукции легко докажем: У( 2;) __ (2i)!z2lz 2l у (|/) = ( 2 / + \).'г21г 2‘+1 2*ЧШ 2г‘+1 / / ( i + l ) / ( 21 ) Назовем формальным мономом Л выражение, по­ лученное по закону А — I (х 3 + е2 X- • -X *з+% А, ( 22 ) где последним действием является умножение на постоянный кватернион А . Имея в виду(21) для формального монома г а* получим: *зк= ( хз + е2У)к— Ф+М' (23) или в развернутом виде, подставив обобщенные степени: р (—1 У х . / - 21Z2‘Z2 22‘(к — 2 /)/ if i! 2р - \- г~к i—l+r t|> ~ k ! 2 ( - l ) ' x iv K-4i -1 - I j + I «2 ^2 i=0 22'+1(«—2*- 1)/ / / ( / + 1)/ , r = 0 ,l (24) Переходя к полярной системе координат г, а в плоскости хи х 2, видим, что полученное решение зависит от г и х3 и не за­ висит от угла а . Таким образом, потенциал Фг=/?(ф) описывает осесимметричные задачи электростатики. Моном z 3KA дает потенциал мультиполя с полюсом в бесконечности. Для формальной степени справедливы формулы дифференци­ рования и интегрирования: dz,KА / Р z К ! *з* <?z i — -Л ~ К г + +1 А --- О -- > | О О , л dz3 oJ ^ + 1 Целая функция, регулярная в окрестности нуля, быть представлена в виде: (26) может оо / = 2 яь*Ак. / 1=0 (27) 7