УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 1967 г. ВЫП.1

Из сравнения (12) и (13) следует, что кватернионный потен­ циал удовлетворяет системе: 2 0 . (16) dz3 Таким образом, системы уравнений электростатики для напряженности поля и кватернионного потенциала сводятся к системе одного и того же типа (16). Напряженность Е и кватернионный потенциал / в области, свободной от заря­ дов, являются моногенными кватернионными функциями. Векторный потенциал тесно связан с уравнениями силовых линий поля [5]. Начнем с электростатической интерпретации формально­ постоянных решений. Формально-постоянным решением [ 6 ] называется решение вида: +°° / = а ( 02 ) + е 2 р(гг2) = 2 я*Ап, (17) “ 00 где А п — постоянные кватернионные коэффициенты. Поло­ жив А п=:А2п-\-е2А 2п , имеем +оо +оо J — Е z \ А 1п+ е г 2 а" А 2п А п. -ОО “ О Тогда для скалярного электростатического потенциала полу­ чим { +О ) E s 'M J , (18) где А 1п— комплексное число. Таким образом, формально-по­ стоянное решение описывает плоско-параллельные задачи электростатики. На рассмотрении таких задач не останавли­ ваемся, поскольку они широко изучались ранее. Укажем, что формально-постоянные решения образуют некоммутативную алгебру, если умножение мономов определить законом: z 2kA k • z 2 A t= z 2k r 1A kA[. Перейдем к построению другого класса решений. Определение. Умножение мономов z 2lz 2k и по закону (1+к+д+р)Шк /д!р! Z 2‘ Z 2k X Z 2q Z 2P ( l+ k )!(q+p)!(l+q)!(k+p)! назовем формальным умножением первого рода. (19) б