ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1972 г.

99 форма любого циклически неприводимого элемента <V*r С . Так как (Г е z. СС ) , то <г & - ^ O' , или Кик- й/ = их- Аи"~ , или, более подробно, h<-k,iik. A,). -fa / o t . i t i b - d - Uii.it . „Ц где выражение в скобках в каждой части равенства повторено Ч раз. Можно считать, что i„ и /г, принадлежат к различ­ ным сомножителям Й или 8 (Если -d* и принад­ лежат к одной и той же группе Я или & , то следует вместо (Г взять J 1 . Тогда О ‘ - А 1 /~*~ . и мы рассматриваем равенство А У * их- л? ■А У ) . Индукцией по длино £ слова ИХ покажем, что для подходящего А,е-М и целого •<„ их = А , У*” . При приведения обеих частей рассматриваемого равенства к нормальному виду после А% в левой и после последнего К, в правой части никаких измене­ ний не произойдет. Поэтому <3 — < * « ' , < - * '* ••••. л • r t - n f i При i ~ п UH '-'e И , и мы получаем основание индукции. Если A (W ) 7 -Acu) » V , то А lX/М ~4) * t - rv .П о предположению индукции, vyi/'~A ,uK,f откуда | , А, (. СП Н ■ Таким образом, любое йХ б- С можно представить в виде мх= / , « “*. Кроме того, очевидно для любого А , б С п Ц и любого целого к , /£. у е С • Покажем исперь, что Н ,-С п И является нормальным делителем группы С • Д*я любого элемен­ та ^ 6 H i справедливы равенства ОА —А , и * , U *А , где А. , Аг - некоторые элемен­ ты из Ч \ и h г. - некоторые целые числа. Но l ( k k ) - h u ) , * ( и ) , и ,т.к. ft циклически неприводим, /<=* , т .ъ .иА= А<У