ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1972 г.

группы С , не содержащийся в /У f является циклически неприводимым и С есть полупрямое произведение бесконеч­ ной циклической группы, порожденной циклически неприводимым элементом, и некоторой подгруппы из Ц : С—( И п О ' {Ш • Доказательство. Пусть U - циклически неприводимый элемент, U(- С • Для любого элемента I f & Z C C ) легко видеть, что либо 6 ( i f ) * О , .чбо I f - цикличеоки неприводим. В самом деле, если S a n * о , то.пусть его нормальная форма есть i f — ■ ■ r!--w, , ® а (I) - нормальная форма элемента U . Так как ( f £ .Z С С) то справедливо равенство (f U , Воли теперь I f не является циклически неприводимым, то после приведения обеих частей последнего равенства к нормальному виду, мы получим слова разной длины, чего быть не может. Так как по условию 2 (G 'j £ Н , то 2 ( C ) содержит циклический неприводимый элемент f , . Теперь для любого элемента U, е С} снова используя перестановочность О\ и U, , легко пока­ зать, что U-i либо циклически неприводим, либо S (U ,)zz О» т.е. каждый элемент группы С , не содержащийся в Н , циклически неприводим. иусть теперь СО - циклически непри­ водимый элемент, имеющий наименьшую длину среди таких элемен­ тов из С . я ( I ) по-прежнему его нормальная форма. Пусть (Т feZ< C j и имеет нормальную форму (2 ). Покажем, что для любого олова f f e z С С ) существует целое к такое, что U K и i f принадлежат к одному классу смежности груипы С по подгруппе / / / j С • Снова рассмотрим равенство U tf =£ i f и , или, что то же самое,