АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Замечание 1. Считаем, что если в диаграмме М есть полоса П или R - сокращение в слове и, то в наименьшем подслове рассматриваемого слова нет Л-сокращений. Замечание 2. Если в диаграмме Л/есть деновская область D [полоса ГТ], то можно считать, что слово <р((дМ u dD) \ ( дМ n dD)) оП) \ (дМ п ЗП))] несократимо в свободной группе. В противном случае, применив ромбовидное преобразование [3] получим приведённую диаграмму, в которой слово, указан­ ное в замечании, несократимо в свободной группе. Определение 5. Пусть М - диаграмма с меткой <р(дМ) в w n, D - область в М [ П - полоса в Щ. При фиксированном w область D [полоса П] называется длинной , если \ср(дМ п Э£>)| > jw| [| <р(дМп ЗП)| > |и>|]. В противном случае об­ ласть [полоса] - короткая. (В этом же смысле можно говорить о длинном или коротком Л-сокрашении [ R -сокращении]). Определение 6. Если в любой циклической перестановке и* слова и нет R, R -сокращений, то слово и называется R, R -несократимым. Лемма 2 [1]. Пусть М связная односвязная приведённая Л-диаграмма, со­ держащая более одной области и не содержащая деновских областей, и множе­ ство Л удовлетворяет условиям С(4)&Т(4). Тогда в М есть не менее двух непе- ресекающихся полос. §2.Доказательство теоремы 1 Теорема 1. Пусть G = (Х\ R) - группа с условием С(4)&Т(4), и» - цикличе­ ски приведённое слово в алфавите X, п - его порядок в группе G, причём п* О, п* 1. Тогда в R существует слово вида s ' , где t > 1, s —слово в алфавите X , такое, что слова У и w* сопряжены в группе G при некоторых \ < p i t , n \< k<2. Теорема 1 будет доказываться индукцией по ||и>|[. Пусть слово w имеет в группе G конечный порядок и. По лемме ван Кам- пена существует приведённая связная односвязная диаграмма М с граничной меткой (р(дМ) s w" . На границе диаграммы Л/определим первичные вершины, разбив дМ) на n||w|| рёбер. Определим граничные рёбра диаграммы М, полу­ 99