АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

g ~ a lbl ...anbn, z=a'lb ',...a'mb'm,m<n < 2 m . Структура минимальной R - дИа. граммы M повторяет структуру диаграмм, рассмотренных в предыдущих слу. чаях.. Но снова, так как любая область в М должна содержать не менее четы­ рех ребер, то в слове w ^ g z g 'z '1 произойдут сокращения и либо а']1а1=1,т- бо Ь'ЯЬ '=1. Пусть Ь'тЬ-„'=1, отсюда Ь'т=Ь„, Ь'2=Ь„.т, 2, Ь'Г Ьп_тЧ. Тогда слово g примет вид: g=alb,...an_m tb 'r ..a'nb'n. Тогда, учитывая, что а 'тап е Н, a ' ^ a ^ d ' a l , е Я„.„ a ,l...a,Kd J е Н, получаем g=a,b,... an+mbn+ma =g'z. Отсюда w -g z g '1'z''~g'zzz'' g ' 1z'1- g 'z g ' ' z '1 = /. По индуктивному пред­ положению g '~ z' , следовательно, g -z'~2 . Пусть теперь ||g||< [|z||. То­ гда g=a,bl...a„b„, z-a ',b ',...a 'mb'm, z e C c (g), m>n. Но тогда z можно пред­ ставить в виде z=z'g или z= g z' в случае, если п<т<2п, и z -g z 'g или z ^ g 'z 'g '' в случае, е с л и |д |> 2 |^ |. Но это противоречит минимальности z в классе ( g ) z ( g ) . Следовательно, в данном случае, Cc (g ) не содержит элемен­ тов, указанного вида. Аналогично, рассматривая случай ||г|| -+-У, получаем, что Ca (g) не содержит элементов нечетной длины. Теорема доказана. Теорема 4. Существует алгоритм, позволяющий построить централизатор любого элемента группы G. Доказательство. Следует из теорем 1,2,3. Литература 1. Daniel Hurwiz R. On the Conjugacy Problem in a Free Product with Commuting Subgroup // Math.Ann. 1976. V, 221. P. 1-8. 2. Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980. 96