АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Рассмотрим общий случай при g=albr ..ajbn, z= a 'lb'l...a'mb'm. Дока­ жем индукцией по п, что если g и z имеют указанный вид и z е CG(g), то g и z лежат в одной циклической группе. Если л = /, то g=a,b, it hk, z=a',b',...a'mb'm. Из теоремы 2 следует, что )" , следовательно, ( g ) С CG(g). Предположим теперь, что для любо­ го g ' , такого что М < Ы утверждение верно. Докажем д л я ||^ |= 2 л . Рассмот­ рим диаграмму М для слова w - g z g 'z '! е N , полагая сначала, что И > 2 1И- ° тсюда> S=albl..Mmbm...an_m4bn^ l ...anbn. z= a ,lb'l ...a'mb'm. Структура минимальной Л-диаграммы не изменится, так как областей типа (а'2 , Ь']‘, а']1а ,) или (а’’/а ,, Ьп а2) нет в силу отсутствия подслов hk, k h . Итак, М разбивается на области, рассмотренным выше способом. Но тогда по­ следняя область К содержит всего два ребра, что невозможно по определению множества R . Поэтому, в слове W должны произойти сокращения. Это воз­ можно только если а']'а,=1 или b 'Jb ^= l. Пусть для определенности b'mb’J —1■ Отсюда Ьт Ь„, Ь п1 Ьт_:, b nm<2 b 2, b nm4 b Элемент g примет вид g—alb'la:,b'}...amb'mg'alb'la 2 b': тывая, что Ъ'я=Ът, Ъ'Г Ъ2, Ь 'г — атЬ'т- Далее, учи- а'/а, е Н, a' 2 a,'l‘ala 2 е Н , .... a'Jl...a'l'al...am е Н получаем, что g= zg "z . Отсюда, g zg ‘z l=zg"zzz,g " lz lz l=zg"zg"-lz lz ‘= l, g"zg"-lz '= l . По индуктивному предположению g"=Z , отсюда g= zk*2. Таким обра­ зом, g и z степени одного и того же элемента. Предположим теперь, что ||z|< И И И 1 и z не является степенью элемента из группы G . Пусть 95