АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

gzg~‘z '' возможны сокращения свободные и Л-сокращения. Диаграмма для слова w=gzg~'zl имеет вид, аналогичный описанному в теореме 1. Так как в слове g нет подслов hk, kh , то М разобьется на области D t, D2,..., Dm. Но так как Dm содержит всего два ребра, в w имеют место свободные сокращения сокращения. Пусть а ‘а,=1. Тогда а=а, и g запишется в виде g=ab,...ambm. Из свойств областей [I] получим: а,=а2,а2=а3,..,а т=а Но а~ а п поэтому, g=ab,ab2...abm, а е Н .В области D ,: b' b, е Я , в области Dml: bb j е К . Тогда g можно преобразовать к следующему виду: g=a(bb4 )Ь,аЬ2.. abm_,abn(Ь 'Ь )=ab(b 'b,)аЬ2. .аЬт_,а(ЬтЬ'' )Ь= =aba(b'lblb2)ab3...a(bm^bmb~' )ab -abg 'ab =zg'z. В результате граничная метка диаграммы М будет иметь вид: w ~ g ' a b g ' 1( a b ) 1. И по индуктивному предположению g '~ ( a b f. Отсюда, g~(ab)’*2. Случай, когда Z - b a , в точности повторяет случай при z= ab , с той лишь разницей, что g —z '1g 'z 1. Предположим теперь, что z = a '/ 6 '/a 'J € Ca (g), тогда -.i:- «; r , •' Y.. В этом случае минимальная R —диаграмма М для w ^ g z g 'z '1 имеет вид как и в предыдущем случае. Если предположить, что существуют области типа: ( 1 ) (Ь„ а/а'/, Ь'/)- ( 2 ) (а/а'/, Ь'/, а'/а,)\ ( 3 ) (Ь'/, а'/а„ Ъ,) то в каждом из этих случаев на диаграмме М существует область типа: ( 1 ) (Ь'„ а',. Ът) ; (2) (а'2, Ь'„ а',)-,(Ъ) (Ь ‘, а'2, Ь ',) соответственно. Но тогда слоговую длину z можно уменьшить, что невозмож­ но. Тогда М должна иметь всего одну область, что снова невозможно. Поэто- му, элементы со слоговой длиной равной 3 не содержатся в CG(g). 94