АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

рим пересечение двух конечно порожденных подгрупп , указанных в следую­ щей системе: ( f ) n H = K 0, K 0 n aiH a -' = К„ К , гл а 1а2На]'аГ1‘ = К 2, (♦*♦) Кт- 2 Глаг ..ат_1Нат,_1...а-' = К т_„ a r am= f s, bl e K , b : EK,...,bme K . Известно, что проблема пересечения конечно порожденных подгрупп свободной группы алгоритмически разрешима [3]. Кп есть либо циклическая подгруппа в и Н , либо К 0= Е . Если Кп= Е , то заключаем, что в Cc (g) нет элементов со слоговой длиной I. Если же К п циклическая, то есть * „ = ( / * ) , то переходим к строке 2 в системе (***) ит.д. В результате если все AT,, i=0,l,...,m -l не единичные, а кроме того a,...am= f’ , тоz е и та­ ким образом (/**-', g } С Ca (g). Предположим теперь, что ||z||=2 и Z 6 CG(g), z - a b . Как и выше, пола­ гаем, что g=albl...ambm А —несократимо. Индукцией по слоговой длине g покажем, что g = ( a h /. Пусть ||g||=2m . Если т=1, то ||gj|=2, и утвержде­ ние содержится в теореме 2. Пусть для всех g ' 6 G , слоговая длина которых четна и меньше 2т утверждение справедливо. Докажем для |g |= 2 m . Итак, пусть g=alb,...ambm, Z=ab eCG (g ). Если в слове g z g 'z '' есть только сво­ бодные сокращения, то равенство g zg 'z '1=1 возможно, только если g и z степени одного и того же элемента, то есть g —(ab)k . Пусть теперь в слове 93