АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

того же элемента, что снова невозможно. Поэтому, CG(hk) не содержит эле­ ментов нечетной слоговой длины при т> 1. Рассмотрим отдельно случаи|г||=./,2. a) g~hk, z - a . Имеем, a ' h ' a h ^ l , а & Н , тогда a=s'' е Н, h=s'! е Н , где /( - наименьшее возможное и t2 —k tr Следовательно, (s‘‘ с CG(hk). Если z=b, то аналогично b 'lk 'lbk= l, b = f r' , k —f ri, ( f r',g ^ Q C 0 (hk). b) g=hk, z=ab. В этом случае минимальная Л —диаграмма М состоит из одной области. Тогда, a 'h a b ' ^ l , b 'kbk ' —l, отсюда а = s 1' е Н , h = s'1 е Н ,b = / ' ' 6 К, к - f ' 1 е К. Поэтому z= sl' f r'. Отсюда, учитывая случай 1 ) при||д||= ’ получим, что l^s1' / r' j С C0 (hk ) . Но так как в Са(Ьк) не содержится других элементов, кроме элементов со слоговой длиной равной 2 , то централизатор элемента hk совпадает с двупорожденной свободной абе­ левой группой (V' , f r' 'j . Теорема доказана. Теорема 3. Централизатор любого элемента g е G , слоговая длина кото­ рого больше двух, либо циклическая, либо свободная двупорожденная абелева группа. Доказательство. Переходя к общему случаю, можно предполагать, что слоговая длина четна. Если же слоговая дайна g е С нечетна, то рассматривая его циклическую перестановку, перейдем к слову g ' с четной длиной. А затем, сопрягая полученный элемент z ' e C G(g') подходящим w e G , получим w 'z ’w e C G(g), где ||g'||= 2 m, \g \= 2m+ 1, к й т. Итак, пусть ||g||=2»a, g= a 'lb 'la'2b'! ...a 'kb \ . Произведем в слове g все свободные и все /{—сокращения. Получим слово g=a,br ..a mbm минимальной дайны. Пусть ||д||= / и Z=a е CG(g ) . Отсюда, g z g ''z ''—l . Минимальная 91