АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Существование областей типа (b), (d) противоречит тому, что ||z|l ~ 2 п . А существование областей типа (а), (с) приводит к противоречию с циклической несократимостью g z g ' z 1. Отсюда, элементы вида z= a ,b ,...a nbn £ С0 (ак). 3) Случай g - h b рассматривается аналогично. Отсюда, g zg '1z ' = l выполняется в данном случае, если g и z степени одного и того же элемента. Пусть далее g ^ h k . 1 ) ||z||= 2т, z - a lb,a2b2...a mbm. Снова Л-диаграмма М не содержит областей с ребрами, метками которых являются соседние а,, Ь. из z . Поэтому могут иметь место следующие случаи: (a) (b,‘, a’jh , к)\ (b ) (a /h , к, а, ) ; (с) (ат, Ьтк '', И ' ) \ (d )(Ьтк-‘. * ' . % ) . Случаи (а), (с) невозможны, так как g z g 'z '1 циклически несократимо. Но случаи (b), (d) невозможны так как h * 1 , к ^ 1. Отсюда следует, что мини­ мальная R —диаграмма М состоит из одной области. Однако, а( 6 Н, 6 К, Z=a’b \ что невозможно. Следовательно, CG(hk) не содержит элементов четной длины 2т , при т>1. 2) ||z||= 2т+1, z^O/b, ••.ambmam+l, g ~ h k . Как и в случае 1), областей типа (а,, 6 (, al+l) , (b,, a if,, bj+l) в диаграмме М нет. Предположим, что су­ ществуют области типа: (а )(Ь]', а]'И, к);(Ъ)(к ', Н 'а ^ ,, b'J);(c)(a,'h, к, a ,)\(d) (ати, к ', h 'a ^ , ) . Случаи (а), (b) невозможны, в силу условия 2. Случаи (с), (d) невозмож­ ны, так как получаем, что h i, либо ||z ||< 2w + /. Тогда g и z степени одного и 90