АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

УДК 519.4 В.Н. Безверхими ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ Б. НЬЮМЕНА1 Пусть G =< Х \г> - группа с одним определяющим соотношением г, г циклически приведено, X - множество образующих G. Подгруппа М группы G называется магнусовой подгруппой, если она по­ рождена подмножеством L c X , в котором отсутствует по меньшей мере один образующий, входящий в запись слова г. Б. Ньюменом в статье [1] доказана теорема, утверждающая, что если G группа с одним определяющим соотношением с кручением и М - произвольная магнусова подгруппа G, то для любого g eG \M :g~'Mg П М - {1}, й которая была усилена в 1973 г. Багерзаде [2] следующим образом: Теорема 1. Пусть G =<X; г > - группа с одним определяющим соотно­ шением, г циклически приведено. Если М - магнусова подгруппа G и g 6 G \ М , то g~'Mg ГШ-циклическая подгруппа. В статье [3] теорема Б. Ньюмена получила следующее обобщение: Теорема 2. Пусть G =< Х;г" > - группа с одним определяющим соотно­ шением с кручением, и> 1 , г - циклически приведено; М {,М 2 - магнусовы подгруппы Си g е G, таково, что MtgM2 * М уМ г, тогда g ''A /,g fW 2 = Ш • Целью данной статьи является доказательство следующей теоремы: Теорема 3. Пусть G =< X; г > - группа с одним определяющим соотно­ шением, г - циклически приведено; Л/,, Мг - магнусовы подгруппы Си g € G , таково, что M,gM2 * М М г. Тогда g~iM igC\M2 - циклическая подгруппа. Доказательство. Доказательство теоремы проведем методом математи­ ческой индукции по длине определяющего соотношения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №00-01-00767. 9