АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

b e К . А это противоречит налагаемым условиям. Следовательно, равенство gzg'z~'= l выполняется, только если g и z степени одного и того же элемен­ та. п-л: '-м:.:’ . то Перейдем к случаю)|z|| = 3. ,;,M j 4 0 . 1 )z=albla2, g -a b , a g H, b g К . Как и выше минимальная й -д и а - грамма М не содержит областей с метками ajt b. из z и не содержит областей с ребрами, метками которых являются а или b . Поэтому М содержит всего одну область. Но это снова невозможно, так как Ъg К . Поэтому элементы ви­ да а Д а 2 не содержатся в Сс (аЬ). 2 ) z=albla2, g=ak, a g Н . 3 ) z=albla2, g=hb, b & К . Случаи 2), 3) рассматриваются аналогично случаю 1). Перейдем к рассмотрению общего случая при||г||=:2«. Как и раньше предполагаем, что z удовлетворяет условиям 1 и 2 . 1 ) z=a,bla2b2...a nbn, g=ab, a g Н, b g К . E c n n zeC c (g), то abalb ,...a nbnb'‘a'b'Ja'J ...b]1а]1—1, Заметим, что минимальная й - диаграм­ ма М для g zg ’1z~‘ не содержит областей с ребрами, метками которых являют­ ся а,, Ь: из г . Далее, областей типа (Ь]‘, а]‘а, Ь), ( а /а .Ь .а ) нет, так как b g К , а так как a g Н , то нет и области типа (ап, ЬпЬ ' , а 1) . Предполо­ жение о том, что М состоит из одной области, также невозможно, поэтому z=a,bl ...anbn g CG(g), если z не является степенью g - a b . l)z= a lbla2b2... anbn, g —ak, a g Н . Как и в случае 1 ) М не содержит областей типа (а:, br a j+l) , (bjt a f+/, bh l ). Предположим, что существуют об­ ласти типа: ..... (а) (Ь]‘, а]'а, к ) ; (Ь) (а/а, к, а , ) \ (с) (ап, bk~', a 1)-, (d) (bnk ' , a ' , b ‘) . 89