АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

4) z= 6 ,, g=ak, a f t H. Случаи l)-4) аналогичны, поэтому рассмотрим доказательство только од­ ного из них, например 1). Имеем a b a ft1а ' а]'=1. Тогда минимальная R - диа­ грамма М содержит одну область и b £ К , что невозможно по условию. Сле­ довательно, в данном случае элементы вида z= a , f t CG(ab). Укажем еще два подобных между собой случая. 5) z = 6 ,, g -h b , b & К. Тогда h b b ft'h 'b]'~ 1, минимальная R -диа­ грамма содержит одну область, b b f t ' £ К, Ь, £ К . Кроме того, b b ft'b ] '—1. Отсюда b—s'', bt—s 1’ . Таким образом, l^s '1, с Cc (hb), где s'1 е К. 6 ) z=o,, g —ak, а & Н. a k a f t 1а ' а ] 1~1, а ’1а]1а —а]1 . Но это возможно, только если a ~ f r' , a ,= fr’ £ Н . Отсюда ^ f t 1,g ) £ CG(ak). i Пусть j|z||=2. 1 )z=a,bl>g=ab, a £ H, b g К . Тогда abatb f t 'a 'b]'a]' =1 и левая часть равенства есть граничная метка диаграммы с одной областью. Посколь­ ку а Д 6 ^ ЛГ, то элементы вида a f t , кроме самого g , не содержатся в С М Случай 2 = 6 , 0 , рассматривается аналогично. 2 ) z= albl , g —hb, b & К . Минимальная Л-диаграмма М с грани меткой h b a f i f t 'h 'b j 'a j 'содержит всего одну область. Поэтому Ь е К , что невозможно по предположению. Следовательно, элементы вида а, 6 ,, кроме са­ мого g, не содержатся в Ca (g). Случай z=b,an рассматривается аналогично. 3) 2 = а Д , g~ak, a f t Н . Минимальная R - диаграмма М снова содер­ жит одну область. Поэтому а £ Н , что невозможно по предположению. Следо­ вательно, элементы вида а, 6 ,, кроме самого g , не содержатся в Cc (g). Итак, из случаев 1), 2), 3) следует, что минимальная R - диаграмма М для w=gzg'lz '1 содержит всего одну область. Отсюда следует, что а €. Н или 88