АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

/-/ z e l s , К * *аД а~Л , а / ha. е Я , i = l,2 ,...,n Ca( h ) = l s , К * Р [ а Д а " Л , aT'ga, е Я , i = l,2,...,n. i-l Теорема доказана. Теорема Г. Пусть|j#|j = / , тогда централизатор элемента# е .6 есть: (a) Ca(g)= i^q, |~ [ а д - ' У где bj'#A; е A", # = д ', если# g К . Причем чис­ ло элементов Ь; конечно и выбирается как минимальный представитель двой­ ного смежного класса < # > Ь'} К ; (b) CG(g)= (q , Я * Y [ 'b /H b 'j\,b 'J'g a J е К , g = q ',если g e K , где bj выбирается, как и в случае (а). Предположим далее, что z удовлетворяет условию 1 и следующему ус­ ловию. Условие 2. Из всех минимальных z выбираем такие, что gzg 'z '1 цикли­ чески несократимо. Теорема 2. Пусть |# |= 2 и g= ab , тогда централизатор элемента # € G либо циклическая, либо свободная двупорожденная абелева группа. Доказательство. Считаем, что g=ab, где а и Ь не лежат одновремен­ но в Я и К соответственно. Предположим сначала, что ||z|| - 1. Возможны следующие случаи. 1 ) z=at, g=ab, а g Я, b g К . 2) z=b,, g -a k , а & Я . 3 ) z=alt g=hb, b g К . 87