АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

C c .( g )~ \s' П ' я . К а Л a~‘ga, e H , i = l,2 ..... n. По лемме 1 число элементов а, конечно, и первая часть теоремы доказа­ на. Предположим теперь, что g = h e H и h=s‘ в свободной группе А. Если ||г||=У, то z=a или z - b . Если z= a , то h a h 'a 1=1, отсюда a 'h a - h , но это возможно только если a —s ' ' . Следовательно, z=s'' e C a(h) и ( s ) q CG(h). Если же z=A, то снова h b h 'b '1=1 . Минимальная R-диаграмма М для данного слова h b h 'b 1 состоит из одной области и все специальные вершины лежат на границе М , поэтому Ь& К и z —k е Cc (h). Отсюда К c. CG( g ) . Если ||z||=2, то z=ab или z —b a . Если z=ab, то habh'b ' d ' - l . Как и выше Л —диаграмма М состоит из одной области. Имеем a 1ha € Н, b е К , и кроме того a 1h a h 1—1. А это возможно, только ес­ ли a= s''. Поэтому подгруппа {s,K^ С CG(h). Если z ~ b a , то рассуждая ана­ логично, получим что, a h 'а '' е Н, А е К , a h 'a ' h —l ,тогда a—s'1, z=ks'' и получаем вышерассмотренный случай. Пусть ||z|| = 3. Если z —atbla2, h—s 1, то минимальная R -диаграмма М состоит из одной области и кроме того a]1ha е Н, a2h 'a 2 е Н, А 6 К , Име­ ем halb,a2h lа2 Ь,‘а ' / - I , a lh a la2h',a'2 = l, а2 a]'ha,a2=h, отсюда ata2= /', a2=a'l's l‘, bt &K . Значит, z-a /ka 'i's1' e C 0 (h), причем a/Aa; € H . Следовательно, (s, O/Ka'/j e CG(h), где a]'ha, e H . Если z=bla lb2 и g —h, то рассмотрим минимальную Л-диаграмму М на границе которой написано слово h ' z ' h z . Областей с соседними метка­ ми а., А, нет. Таким образом, Л —диаграмма М имеет только две области. 85