АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

х = g mx h . Причем элементов х , удовлетворяющих условиям (1), (2) конечно, Лемма доказана. Рассмотрим общие случаи: (1) |z | = 2т, z = a lbla2b2...ambm, т> 1. Тогда aalbl...ambma'b-n'aj...b;'a-' = 1. Лемма 2. Пусть z e C G( g ) . Тогда минимальная R - диаграмма для слова g z g ^ 'z '1 является однокомпонентной. Вернемся к рассмотрению общего случая. Минимальная Л-диаграмма не содержит областей, у которых метками являются соседние Ь, из Z. Предположим, что диаграмма М содержит область D, с соседними ребрами, метками которых являются соответственно Ъп a]1aat, br Но тогда Ь, е К, а /а а , е Н и более того ар/й]1а а р ]1а]‘a ' = a , a l а а р р ] 1а]1а ' =1 и, следовательно, a p f l ! е Ca (g). Индукцией по слоговой длине слова 2 пока­ жем, что те Z, у которых длина четна, не принадлежат Ca(g). Если т=1 , то ||z||=2 и утверждение следует из выше приведенных рассуждений. Предполо­ жим, что в Cc (g) нет элементов четной длины от 2 до 2(т-1). Докажем для ||z||=2m. Домножим z слева на а р ] 1a]1 е CG(g). Получаем 1М/~ЧЧ| = II a f r 'a -,,a p la2b] ...ambm\ = \а ’2Ь2а3...атЬт\ = И < 2 ( т - 1 ) Но тогда z ' £ CG(g) по индуктивному предположению, и, следователь­ но, z 0 C G(g). Перейдем к случаю |z ||= 2т+1, z=apla 2 b 2 ...ambmant, . Пусть g=a=s' в свободной группе и g & Н . Покажем, что в этом случае Ca (g) совпадает с группой 82