АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

( 6 )z=blal . Для данного случая проводим рассуждения, аналогичные пре­ дыдущему пункту, и так же как в (а) элементы вида b fl, f* Сa (g) ■ Пусть ||z||= 3 и z=a,bIa2. В этом случае при g=a f* Н имеем: aalbla!a ',a'2'b'lla]l=] и минимальная Л-диаграмма М содержит одну об­ ласть. Отсюда а]‘аа ; е Я, а2аа2 е Я, Ь, е К . Тогда а', аа,а2а 1а'2 - 1 в Я и а= а /а 2 а (а/аг/ , ) но это возможно, только если a= s'', ala2=s'1, откуда а2=а]'s '1. Поэтому элементы вида s ' \ где а]‘аа, е Я , Ъ, е К , содер­ жатся в C0 (g) и так как s s C G(g), то а Д а / е CG(g ). Для построения эле­ ментов а Д а / необходимо знать все х , удовлетворяющие условию х ,а х е Н ( 1 ) Лемма I. Пусть А — свободная группа, Я-конечно-порожденная под­ группа в А и пусть g —a Н . Тогда, существует алгоритм, позволяющий .. -:НОГЭ| ’■ описать все х , удовлетворяющие ( 1 ). Доказательство. Как и раньше, считаем, что элемент g - циклически не­ сократим в А . В качестве X выбираем минимальный представитель двойного смежного класса ( а ) хН, х е А ( 2 ) В качестве образующих Я выбираем нильсеновские образующие: й;Д ,..,Д . Полагаем р = т а х /|й ,|,|Д |,...,|Д |) . Допустим, что g = x ,,g ', где х = хпхп, тогда х 'g x = хп1g 'x свободно несократимое слово, и так как x ' g x e H , T o x - 'g 'x = h : ; ^ ...h ; : e H . ( 3 ) Из соотношений (2),(3) и свойств нильсеновского множества следует, что |* |< р . Следовательно, все X, удовлетворяющие условию (1) имеют вид