АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Если z 6 CG(g) для некоторого g е G , то w—g z g 'z '1 в G и по лемме Ван-Кампена существует связная односвязная R - диаграмма М , граничная метка которой есть w. Среди всех z выбираем такие, которые удовлетворяют следующему условию: Условие1. z минимально в двойном смежном классе (р )2 { р )- Теорема 1. Пусть ||р | = / , тогда централизатор элем ентарен есть: (a) Cc (g)= (s , где a,'ga, е Н, g= s k, если g р" Я . Причем чис­ ло элементов а, конечно и выбирается как минимальный представитель двой­ ного смежного класса < р > а'. Я . (Ь) Ca (g)= (s , К * J J 'a f i a ' A , a,'gai е Я , g= s k,если р е Я , где а, i-l выбирается, как и в случае (а). Доказательство. Рассмотрим случаи, когдаЦдЦ = 1,2,3. Пусть g = a . Предположим, что J|z| = 7, z = а, и z е CG(g). Тогда aata lа ] =1, от­ сюда а,=Дй;а / . Но в свободной группе это возможно, если а - s ', at=s'‘ . От­ сюда z=s‘l и ( j ) с Ca (g ) . Если же z = Ъ , то a b a 1b '1= 1. В этом случае ми­ нимальная R -диаграмма М содержит четыре ребра с метками а, Ъ,а ' ,Ъ и состоит, следовательно, из одной области. Тогда а 6 Я , что невозможно по предположению. Отсюда, элементы вида z —b & Ca (g). Пусть теперь И = 2 , g~ a е А \Н . (a )z=a,b,. Тогда а а ^.а 'Ъ ]1а]‘- 1 минимальная R -диаграмма М со­ держит четыре ребра с метками а'/аа,, Ь,, а ' , Ь]‘ и состоит из одной области. Отсюдаа е Я , что противоречит предположению. Поэтому, в рассматривае­ мом случае, элементы вида <зД р C0(g). 80