АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

УДК 519.4 В.Н. Безверхний, О. Л. Новикова ОПИСАНИЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРА ЭЛЕМЕНТОВ В ГРУППАХ ГУРВИЦА1 Пусть А и В - свободные группы, Н и К конечно-порожденные под­ группы в А и В соответственно, F —А * В - свободное произведение групп А и В , R-{[h,kJ, h е Н ,к е К}, и N • нормальное замыкание R в F . Тогда G=F/N свободное произведение с коммутативными подгруппами Н и К , то есть G= < А * В ;[Н ,К ]-1 >. Если w e N , то на основании леммы Ван-Кампена существует связная односвязная R - диаграмма М , такая, что метка на границе карты М равна w. Из [ 1 ] и определения группы G области R - диаграмм над F имеют мет­ ки h,k,h2k2...hnkn, где А, е Н, к , е К, h ,= J ,k ,= l,i= l...n и h,h2...hn= l в Н, к,к2...кп=1 в К. Таким образом, области могут быть представлены как 2п -угольники с п> 2. Пусть ■ D область. Определение. Вершина V , специальная в D , если ребра, прилегающие к V , отмечаются различными метками из F . В работе [1] доказано, что если М минимальная R -диа 1 -рамма, то все специальные вершины из М расположены на границе М и ни одна из вершин не может быть специальной одновременно в двух соседних областях. Там же доказана разрешимость проблем равенства и сопряженности в G . Опираясь на эти факты, опишем централизатор любого элемента группы G . Здесь, и в даль­ нейшем считаем элемент g циклически несократимым. Через |jgj| будем обозначать слоговую длину элемента. 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен­ тальных исследований, грант № 00-01-00767. 79