АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

вербальной подгруппы ф(С) для любого некоммутаторного слова бесконечна. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть G =<al,a2,a3,...,a„;r'alt =aM{i = \,п - l \ r ' a nt =а]>, ф - собственное слово. Тогда ширина вербальной подгруппы ф(С) бесконечна. Доказательство в точности повторяет доказательство теоремы 1 (доста­ точно положить р- Ъ) . Теорема 3. Пусть G =<al,a2,a3,...,a„;t~>alt = aM(i = =а] >,ф - собственное слово. Тогда ширина вербальной подгруппы ф(б) бесконечна. Доказательство. Пусть w =tawlw2...w„rf - специальное представление слова weG. Пусть р = 3. Положим g/(w)= |)). где j w, j означает слоговую длину w(, . .v ; * i (и-,:, если w, >0 — jw,|, если wt < 0 . Лемма 3. gl(u~')= ~gl(u) для любого и е G. Доказательство аналогично доказательству леммы 1. Лемма 4. gi{uv)- gl(u)~ gl(v) < 6 для любых u,veG . Доказательство аналогично доказательству леммы 2. Если для любого собственного коммутаторного слова ф* ширина вер­ бальной подгруппы ф*(G) конечна, то, как и в доказательстве теоремы 1, функция gl ограничена. Построим последовательность из ф*((?), для которой значение gl не является ограниченным. Так как G содержит свободную не­ абелеву подгруппу, то она содержит и свободную группу с т свободными по­ рождающими: у,,... ,ут. Причем, ввиду выбора порождающих свободной груп­ пы считаем, что их длина больше 0. Элемент ф* (у)= ф* ( у ■■■,)>„) не равен 1 в G и содержится в коммутанте G ' . Запишем это слово в виде произведения Ф * м = wr ..w,. Очевидно, что f > 1. Считаем, что w, и w, имеют разные знаки