АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

его последнего слога отличается от первого слога w,, то А { ф *(vV»rУ)=./И^ * (у )°“) Так как gl\a^p<*{ф*(у)а° PJ gl{</>* (у)°Г)> то последовательность dt , j - 1 , 2 ,... действительно является искомой. Если р = 2 и < О, й'/(и',)=0, то gl(w,a,)=-\ и положим 6 , = , bj = *(у)а,' = а/ * (y]at 1 У. В качестве искомой возьмем последовательность dJ =by , j = 1,2... Если g /(w ,)= -l, то g/(w(o,)= 0. Даль­ нейшие рассуждения очевидны. Аналогично поступаем в случае, когда w, > 0. Таким образом, мы построили последовательность, для которой значение функции gl не является ограниченным, то есть для любого собственного ком­ мутаторного слова ф* (х) wid(G ,ф*)= да. Рассмотрим случай, когда ф(х) - некоммутаторное слово. Пусть ф(дг)=дс'ф*(зс), где ф* ( jc ) - коммутаторное слово. Из леммы 2 следует, что для всякого элемента g e G , представимого в виде произведения не более I s -ых степеней и т коммутаторов, найдется такая константа c(pj,s,m}, зависящая только от p,l,s и т , что значение gl(s) не превосходит c(p,l,s,rtt). Очевидно, что 5 - значение всякого элемента из G лежит в ф(<7) Положим для р ^ З dj =(a,afa]a2p)'J, для р - 2 dj =(а1ага~у1а2 ) 1. Тогда gl(d.) =2sj для р > 3, gl(dj)=sj для р - 2 . Таким образом, dt лежат в ф(Сг) для всех / Но функция gl на последо- )ГП' ’ . v . ч . • • вательности dj не является ограниченной. Следовательно, ширина собственной 76