АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Пусть ф* (х,,...х„) - некоторое нетривиальное коммутаторное слово. По­ строим последовательность из ф * (G), для которой значение функции g! не яв­ ляется ограниченным. Так как G содержит свободную неабелевую подгруппу, то она содержит и свободную группу с т свободными порождающими у.... ут. Причем, ввиду выбора порождающих свободной группы, считаем, что их длина больше 0. Элемент ф*(у)=ф*(у|,...,у„) неравен 1 в G и содержится в комму­ танте G ’. Запишем это слово в виде произведения ф *{у)- w,...v*>,. Очевидно, что t > 1. Используя, в случае необходимости, сопряжение, ко­ торое не выводит нас из вербальной подгруппы ф", (С), можно считать, что w, и vt>( имеют разные знаки и и>, начинается, a w, заканчивается на разные буквы. Следовательно, для всякого натурального i >1 i-я степень ф*’ (у) слова Ф*М является циклически приведенным словом. Ввиду свойства функции gl 81{ф*‘(у))= igl{<j>*(y)\ / = 1,2,... Если значение * (у)) отлично от нуля, то в качестве искомой возьмем последовательность dt =ф*' (у) Рассмотрим случай, когда £/(ф *(у))= 0 . Если р > 3, то выберем целое число а так, что если последний слог w( является положительным (отрицательным), то и а возьмем положительным (отрицательным). Кроме того, если g/(w ,)*l, то в качестве а возьмем такое число, что значение gl(wla*)= 1 , где а, выбираем совпадающей с последней бу­ квой слова w,. Если же g/(w,) = 1, то а выбираем так, что gl{w,a° )= -1. Положим далее 6 , = <з “ф* (уК* Ь ,= а? ^ * ( у к = < ч/(Ф *Ы < )', 7 = 2,3... Очевидно, что все bf лежат в вербальной подгруппе ф* (G) В качестве искомой возьмем последовательность dJ =bn( j = 1,2...) Легко проверить, что значение gl(f/>*(y)a°)* 0. Так как слово ф*(у)а" циклически приведено и знак 75 У