АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

uv = tau,...untvr ..vmf T = ta+ ' ( r \ t \ r 1u2t\..(r,u„t)vl...vmr <T = t"*'uiui...u,vt...vllir 0 = ta* 'w ra, где и, =/■'«/ (/ = 1 ,я )и = И|И 2 ...«,. Между и: и иы сокращений нет. Учитывая определяющие соотношения и определение функции g l, имеем: gl(u) =gl(u,...ull) = g/(ni...«„)= gl{u] Исполь- : ' •' ■ r'- ’*}if■ > •, зуя для uvслучай 1 ), получаем: \gl[uv)~ gl{u)-gl(v)<2p. Так как gl(u)= gl{u) и gl{uv)= g/(uv), to ig /(w )- gl{u)-gl{v\ < 2 p ; б) рассмотрим случай, когда у - ft = - 1 . Тогда wv= = taut...uriv\v2...vmt~a^ , где V/ = t~'Vjt (у = l,m) Данный случай аналогичен случаю 2). в) у -Р > 1 . Пусть у - р = £ Применяя к раз сопряжение элементом /к слову и,...и,, получим gl(uv) = gl(t~* {г*и / ) . . ( г V v 2 ...v.r* ) Доказательство аналогично случаю 2а); г) у - Р < -1. Данный случай симметричен случаю 2в). Лемма доказана. Таким образом, мы доказали, что функция g I:G -* R ограничена на G xG , то есть существует такая константа с(р), зависящая от р , что gl{xy)~ gl(x )~ 81( у ) Д-1Явсех х ,у е G. Допустим, что ширина собственной вербальной подгруппы группы G от­ носительно любого коммутаторного слова конечна и равна s. Тогда для всякого s найдется такая константа c(p,s), зависящая только от р и s , что значение функции gl на произведении s коммутаторов из G не превосходит c(p,s) 74