АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

gl{w)= X T(tr[wt ]), где 1-1 tr]w,\ при w > 0 -tr\wt\ при w < 0 Очевидно, что gl(w )=g/(w). Лемма 1. gl(u~' )= -gl(u) для любого и e G . Доказательство. Пусть и =tau,u{...и /с п е ц и а л ь н о е представление сло­ ва и . Тогда и '1 =tfun' - специальное представление слова и и gl(u')= -gl{u). Лемма 2. :g/(uv)- gl{u)~ gl{v\ <2р для любых u,v е G . Доказательство. Пусть u =t,'utuy ..unt ^ . v - t ,vlv2...vmt " ’ - специальные представления слов u,v. Тогда «V= t°ulu2...u„t',~ \ ...v j " '. Возможны следующие случаи: 1. у - Р = 0,тоесть uv =tau,uI...unvl...vmt"’ . а) пусть hb , v ,- слова одного знака. Тогда g/(t/v)= gl(u,u2...u^) +gl(u„v {)+ g/(vr ..v„ ) Ho ig/(«„v,)- gl{u„)~ g/(v,) < p. Следовательно, gl{uv) - gl(u) -g /(v ) <p \ б) пусть ur и v, - слова разных знаков и между ними нет сокращений. Тогда gl(uv)= gl(u)+ g/(v); в) пусть ип и V, - слова разных знаков и и *=1°и,и2...и1им ..м ,Г 1' v = , причем между и, и нет сокращений. Тогда T{tr\w; )= 72