АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Доказательство. Обозначим через I длину слова a,w(a,,...,a.)al, то есть |a,w(a,,...,a„)a 1 =1. Разложим число / -1 на простые множители. Выберем наи­ меньшее простое число р в этом разложении. Тогда I =\{mod р). Введем следующие обозначения. Если р = 3, то для т е Z пРи т = ' (mod р) nod р ) [mod р) mod р) P2+ l i^od р \ Если р = 2, то для m e Z 0 при т = 0 (mod р) 1 при т & 1 (mod р) Очевидно, что для любых m .n eZ \tr{m+n)-tr{m )-tr{n\=< р -л'.ц : : Пусть х - слово в образующих а1,а2,...,а п(либо положительное, либо от­ рицательное) и пусть logx обозначает сумму показателей при а,,а2,...,ая в сло­ ве х. Для специального представления слова w определим следующую функ­ цию: Если р > 3, то О- *;»* gi{w)=i,t'iiogwiy, 1*1 Если р = 2 ,то tr(m)= 1 при т а 1 (i О при m s 0 ( -1 при т — — I (, t - р +1 при т = 71