АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Слово ф будем называть собственным, если ф(С )*1 и ф((7)* G. Соот­ ветствующую подгруппу ф (G) также будем называть собственной. В работе [2] доказано, что для свободных произведений с объединением G = А *\В , где число двойных классов смежности А по подгруппе V не меньше 3, а обычный индекс |B:V|>2, и для ЯЛТУ-расширений G* =<G ,t;t'at = v|/(a),a е А > , где А и В = \|/(а) - собственные свободные под­ группы в G, ширина вербальной подгруппы, определенной коммутаторным словом, бесконечна. В [3] доказана бесконечность ширины собственной вербальной подгруп­ пы для HNN -расширений, где связные подгруппы отличны от базовой группы. В данной работе рассматривается ширина вербальной подгруппы для группы G=<a[,a1,.-.,a„;t~'a,t =aM{i =\,n-\),t~'ant-a ,w (a ..... ,an)at >, где w(a,,...,a„) - непустое слово в свободной полугруппе « av a2,...,an» . Пусть w e G . Представим w в виде w= taw(al,...,an)t~*, где а,р > 0 ,и’(а,,...,ав) - несократимое слово в образующих а,,...,а , . Слово х(а, ,...,ап ) будем называть положительным (> 0), если все показа­ тели степеней а .... ,а„, входящих в запись этого слова, положительны. Слово х (а,,...,ал) будем называть отрицательным (<0), если все показа­ тели степеней at,...,an , входящих в запись этого слова, отрицательны. Представим w(al,...,a„) в виде w(a .... ,a^)=w,w2...w„, где w, либо поло­ жительное, либо отрицательное слово i = l,и и vi'.,w„l(/' = !,л - i ) имеют разные знаки. Представление w = /'w , w2...wer f , где а ,р > 0 , будем называть специаль­ ным. Теорема 1. Пусть G =<al,al ,a,,...,an,t; t a t = а„, (i = 1,и- 1); r ' a j = a,w(al.... ая]а,>, где w(at,...,an) - непустое слово в свободной полу­ группе « а,,в,,...,а, » , ф - собственное слово. Тогда wid(G,i/)= . 70