АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Для подмножества Т £ F„ символом АТ будем обозначать орбиту множе­ ства Г при действии группы автоморфизмов Л ut F„, т. е. АТ={ y(t) |t е Т, у е Aut F „}. Справедливо Предложение I. Пусть Н - подгруппа свободной группы F„ и и» е F„. То­ гда равносильны следующие утверждения: 1) найдется автоморфизм <ре Aut F„ такой, что <p(w) е Н, 2) элемент w лежит в орбите АН подгруппы Н, 3) пересечение подгруппы Н с орбитой Aw элемента w не пусто. Непосредственно из этого предложения вытекает Следствие 1. Если Я - автоморфно допустимая подгруппа группы F„ и и' е F„'H, то ни для какого автоморфизма <р е Aut F„ элемент <p(w) не лежит в Н. С другой стороны, предложение 1 сводит вопрос В. Н. Безверхнего для группы F„ к описанию орбиты элемента и\ В некоторых случаях такое описание известно. Например, в свободной группе F? со свободными порождающими а и Ь орбита элемента w=[a,b]=a~'b~'ab состоит из элементов, сопряженных с эле­ ментом w в группе F2 ([2, теорема 3.9]). Поэтому из предложения 1 получаем Следствие 2. Пусть F2 - свободная группа со свободными порождающими а и b, Н - ее подгруппа, w=[a,bj. Существует автоморфизма (ре Aut F„ такой, что <p(w)e Н тогда и только тогда, когда Я содержит элемент, сопряженный с w. Напомним [2, с. 114], что примитивным элементом группы F„ называется такой элемент, который можно дополнить до множества свободных порож­ дающих группы F„. Подгруппой Фраттини Ф(G) группы G называется пересе­ чение всех ее максимальных подгрупп, если они существуют, и сама G - в про­ тивном случае. Известно [3, с. 27], что подгруппа Фраттини 0(G) совпадает с множеством всех непорождающих элементов группы G. Очевидно, коммутант F„ группы F„ содержится в подгруппе Фраттини Ф(FJ. Легко устанавливается 7