АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Если пара векторов X и Х1+1 связана элементарным преобразованием, то наибольший общий делитель компонент вектора X совпадает с точностью до умножения на обратимый элемент из Л с наибольшим общим делителем ком­ понент вектора X*'. Следовательно, наибольший общий делитель компонент вектора Асовпадает с точностью до умножения на обратимый элемент кольца R с наибольшим общим делителем компонент вектора ХА для всякой матрицы А из GL „(R). А потому, если для элемента w е М найдется такой автоморфизм (ре Aut М, что <р(мг) е Я, то НОД(А/,Аг , %) делится на т(Н). Обратно. Предположим, что элементу w из М соответствует такой вектор А = (Xi,X:,...,XJ е R", что наибольший общий делитель его компонент делится на т(Н). Тогда его можно представить в виде (Xi,X:,-.XJ~m(H) q (fii,M 2 , ...../U Ч.И( е R< НОД (ц!,цъ...,ц^= 1 . Используя алгоритм Евклида и тот факт, что для любых элементов а и Ь из R найдутся элементы х и у из R такие, что ах+Ьу=НОД(а, Ь), легко указать последовательность элементарных преобразований, переводящих вектор X в вектор (m(H)-q,0,0, ...,0) е R", который, очевидно, соответствует эле­ менту, лежащему в Я. Следовательно, найдется такой автоморфизм ф е Aut М , что <p(w) е Я. Теорема доказана. Рассмотрим теперь свободную группу F„ ранга п> 1. Так как свободная абелева группа Ап является ее гомоморфным образом и этот гомоморфизм ин­ дуцирует гомоморфизм Aut F„ на Aut А„ zGL„(Z), то из следствия 1 получаем Следствие 2. Пусть л : Fn-+FJFn sA„ - канонический гомоморфизм, Я - собственная подгруппа группы F„, w е F„. Если для элемента w найдется такой автоморфизм (р е Aut Fm что <p(w) е Я, то для элемента к(у/) е А„ найдется ав­ томорфизм у/ е Aut А„ такой, что y/(n(w)) е л(Н). 6