АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Второй случай : пусть д (Д )= 2 , и при некотором 1 < i </ Д (Ц)=3 ,а при к * ' Л,(Д ) = 2 ■ Тогда 5Д п у , = е - ребро. Пусть диаграмма Г , и Г L приведенная (в противном случае в слове ф {dDB ) есть свободное сокращение). Тогда, так как Д (Д )= 2 , то д (д ')= 3 , и в Г, существует единственная область £>', такая, что д ( д ’,)= 1 , и 8D', пЭ Д = е. Рассмотрим диаграммы Г ^ ,Г ^ . Если они являются копиями друг друга, то в слове t i p D j есть свободное сокращение при вершине Л2. Значит, и Гц - приведенная диаграмма. В диаграмме Г ^ минимальный номер имеет область с одним ребром на т, (здесь т, - граничный цикл Д , не имеющий общих точек с о 0): на области с двумя ребрами на т, не обращаем внимания. Если это область D,2, то либо D,2имеет два ребра на у, и ф(эД 2 )= ф(дЦ), и диаграммы являются копиями друг друга, из чего следует сократи­ мость слова ф [dDAi ); либо же Z )2 имеет два ребра на DB, и тогда в слове ф(о0) есть свободное сокращение при вершине В,. Заметим, что ДДД 2 )= 3. Теперь можем утверждать, что три ребра на т 0 имеет область D2, у которой есть общее ребро ес областью D . Теперь можем доказать, что области D2. образуют сократимую пару в диаграмме Г, \j Г, , что противоречит приведенности указанной диаграммы. Итак, второй случай тоже невозможен. Третий случай: в диаграмме ГL есть s(s > l) областей с тремя ребрами на а,. Из строения диаграммы L следует, что в Г L между областями Z>, D, , имеющими по три ребра на а ,, есть область Ц с одним ребром на о,. Диа­ 58