АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Так как свободная абелева группа А„ ранга п является свободным левым модулем над кольцом целых чисел Д то из этой теоремы получается требуемый критерий. Следствие 1. Пусть А„ - свободная абелева группа ранга и, п е Д Я - ее собственная подгруппа, ui,u2,...,u„uvi, v2,...,vk - согласованные базисы в и Я соответственно. Для элемента w =A iu 2+A2и2+...+Л„ и„е Ап Я, е Z. найдется та­ кой автоморфизм <р е Аи! А„, что <p(w) е Я тогда и только тогда, когда наи­ больший общий делитель ИОД(Л,, A2,...,AJ делится на т(Н). Доказательство. Прежде всего заметим, что элемент w =A/U i +A2и2+...+ЛГ1 и„. А, € R, принадлежит подмодулю Я тогда и только тогда, когда #П/Д/, т2/А2 .... mJAy, Я*+/=Я*т2=... = Х,=й. В частности, т(Н)=тi делит НОД(Я/, Л2 ..... AJ. Группа автоморфизмов Aut М модуля М изоморфна группе невырожден- ............................ . , N .-.>!■ н щ а д о N liC i ч .и о ; .; ных матриц GL„(R), которая порождается трансвекциями t{](p), р е R, I <i,j <п, i * j, и диагональными матрицами dt= d i a g ( l j , . . . , l , e , l , l < i <п, ,-iV; ,v .u'; /h » ‘J. v • V4T V'■ Л >" где £ стоит на /-м месте и является обратимым элементом кольца R. В дальней- шем будем называть такие матрицы элементарными. Легко заметить, что если . . . i А - ■ -Я ; 4 - а = (а,.а;, е R ", то умножение а справа на элементарную матрицу . .cyuv ■ '«• индуцирует элементарное преобразование вектора а. Действительно, шк!? ... у у '' е т ш (аI, а 2, .... a jd t~(at, а2,..., Ot-i,sab а /+/ аД, т. е. /-я компонента вектора а умножается на с, \ г .., - •>» мП. • < а /, а2,..., an)tJ(p)=(ai, а2 ан , а,+ра„ а;+, a j, т. е. г-я компонента вектора а умножается на р и прибавляется ку-й компонен­ те. Сопоставим элементу и вектор А = (A i ,A2,...,AJ. Очевидно, что автоморфизм ер, переводящий w в подмодуль Я существует тогда и только тогда, когда суще­ ствует такая последовательность векторов из R": А = А°, А1,...,А1, что X получается из Я' элементарным преобразованием, а последний вектор X соответствует элементу, лежащему в Я. 5