АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

УДК 512.54 В. Г. Ьардаков ОБ АВТОМОРФНОМ ВХОЖДЕНИИ В ПОДГРУППЫ СВОБОДНОЙ ГРУППЫ В ноябре 1997 г. на Мальцевских чтениях В. Н. Безверхний сформулиро­ вал следующий Вопрос. Пусть G=A„ - свободная абелева группа конечного ранга п, п eN; или G=F„ - свободная группа конечного ранга п > 1, Н - ее собственная под­ группа, a weG\H. Существует ли автоморфизм (ре Aut G такой, что cp(w) eH'l В предлагаемой работе для С=Л„ дается критерий, позволяющий по эле­ менту w eG решить вопрос о существовании такого автоморфизма q> из Aut G, что <р(у>)еН. Для группы G-F„ также получены некоторые частные результаты. Прежде чем сформулировать основной результат, введем необходимые обозначения и напомним некоторые известные факты. Хорошо известно (см., например, [1, § 86]), что если R - коммутативное евклидово кольцо с единицей, М - свободный левый /f-модуль ранга п, п е N, а ?* 14'* • 1.\ Ь 1' Н - его нетривиальный подмодуль, то Н является свободным /f-модулем ранга k, t < к < п, и существует такой базис и/,'и* ...,ип в Ми такой базис V/, У;,.,,У*ВЯ, что V.Л*. /и(*/ в 0 (mod т) для некоторых элементов пц из R. Такие базисы будем называть согласованны­ ми. Обозначим m(H)-mh Заметим, что значение т(Н) определяется с точно­ стью до умножения на обратимый элемент из Л и, в этом смысле, является ин­ вариантом подмодуля Н. Основным результатом настоящей работы является Теорема. Пусть R - коммутативное евклидово кольцо с единицей, М - свободный левый Л-модуль ранга п, п е N ,H - его нетривиальный подмо­ дуль, и/, «г, ...,и„ и V/, Vi...,v* - согласованные базисы в М и Н соответственно. Для элемента w =A i U i +A2 и2+...+А„ и„ е М, А, е R, найдется такой автоморфизм (р е Aut М, что <p(w) е Н тогда и только тогда, когда наибольший общий дели­ тель НОД(Я/, А2, ....AJ делится на т(Н). 4