АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

то < jc 0, x ,, ... Xj >=<x0 Xj >= L j (x0, ... Xj) - свободная группа ранга y' + l. Поэтому <y,t >f)G = F(x0,x l, ... Xj,...) - бесконечно порожденная под­ группа. Теорема доказана. Теорема 5. Пусть группа G" имеет копредставление (1), тогда группа G* не является финитно отделимой. Доказательство. Предположим противное. Пусть группа G* является финитно отделимой. Тогда рассмотрим элемент g =1айГ ' . Так как а0 е <p(G), то по лемме Бритона g t G . Пусть 0 - гомоморфизм G -> N, где N - конечная группа. Так как G’ - финитно отделима, то 0(_?) Z ©(G). Всякий элемент h из G можно представить как h = t<p(h)t~], поэтому G < tGt~'. Следовательно, 0 (G )< 0(Г)0(С)©(/ ‘). Группы 0(G) и 0(r)0(G )0(r ’) сопряжены в N и, следовательно, изоморфны. Так как N - конечная группа, то группы 0(G) и 0(f)0(G)©(/~') содержат равное количество элементов. Поэтому из неравен­ ства 0(G) < 0 (r)0 (G )0 (r') следует, что 0(G ) - 0 (/)0 (G )0 (f)''. Но тогда 0 (g) = 0 (/) 0 (ао)©(/)'* G е 0 (G ). Полученное противоречие завершает доказа­ тельство теоремы 5. Литература 1. Kapovich J.. Howson property and one-relator groups // Communication in alge­ bra. 1999. V. 27. No. 3. P.1057-1072. 2. Bestvin M. and Feighn M. // The Combination Theorem for Negatively Curved Groups//J. of Diff. Geom. 1992. V.35. P.85-101. 3. Bestvin M. and Feighn M. // Addendum and correction to “A combination theorem for negatively curved Groups” // J. of Diff. Geom. 1996. V. 43. 4. P.783-788. 4. Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 5. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в одном классе групп // Алгоритм, проб, теории групп и полугрупп. Межвуз. сб. науч. тр. Тула, 1991. С. 4-38. 25