АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

(cJ - 2 /(c'o)+ P '2(/(v*,)_1) 2p' /(W) _ i 2 /(C° ' Таким образом, всякий аннулятор длины 2п +1 является 3/2-гиперболи- ческим. Теорема доказана. Теорема 3. Пусть группа G* имеет копредставление (1). Тогда группа G =< а0, а , , ... ап > не является квазивыпуклой в G". Доказательство. Предположим противное. Пусть G квазивыпуклой в G*. Тогда существует d > 0, такое, что для любого / е G , /0 ( / ) < dl , ( / ) . G Для произвольного j e N положим, что f j =r nJa0t^ = ipnJ(aa). Так как /(ф "(/)) > /(w )/(/) и l(w)> 2, получаем, что K f J) > l i (w)KaQ) = l i (w). С другой стороны, так как I , ( / ,) = 2 nj +1, то 2J < l J(w) < d l , ( / ,) = d(2nj +1) для любого /', что невозможно. G J Теорема доказана. Теорема 4. Пусть группа G’ имеет копредставление (1), тогда группа G ' не обладает свойством Хаусона. Доказательство. Пусть и>= а ”1 , т1,т2 е /У, vv0 = а ' w'0af2 , Е,5е{±1}, j,,i2,e{l,2, ... «}. Положим у = а(1 1 . Тогда элементы у,а,,а2>... a„,w порожда­ ют в группе G = < a0, a , , ... а„ > свободную подгруппу ранга п +2. Так как у,а 0, ... a„,w - нильсеновское множество, то < Y,<p(G) >=< у *<p(G) >. Положим теперь для любого j > 0, х , =t~JytJ =<fJ(y) (.т0 = у). Пока­ жем, что < у,/ > fJG =< jc 0, jc ,, ... - бесконечнопорожденная подгруппа. Очевидно, что< у,t >-< Т,дг0,лс,, ..., xjy...>. 23