АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Подействуем на обе части равенства эндоморфизмом ф2, получим вер­ ное равенство ф2(А^3)ф3(с„_3)ф2(й„_3) = ф2(с„_2). Следовательно, справедливо неравенство /(Ф2(сл_2)) > /( ф 3(Ся_3)) - 2/(ф2(Л„_,)). (7) Аналогичным образом получаем цепочку верных неравенств /(ф3(с„_3)) > /(ф4(с,_4)) - 2/(ф3( ) ) • ....................................................................... ( 8 ) /(ф"-,(с1))>/(ч>л(со))-2/(ф"-,(Л0)) Подставим теперь в неравенство (5) неравенство (6), Получим неравенство 1(сп) >1(у2(сп_г ) ) - 21(q>(hn^2)) - 2р. (9) Затем в неравенство (9) будем подставлять неравенство (7) и цепочку не­ равенств (8). Получим неравенство 1(с „) > /(Ф- (с„)) - 2/(ф -1(А0)) - 2/(ф""2(й,) ) - ... _ 2/(ф2(А„_3)) - 2/(q>' (Лл_2)) - 2р (10) Используя неравенство (4) получим верное неравенство 1{с „) > l(w)l(c 0) - 2 /-■ (wX/(Ab)) - 2 /"'2(w)/(/»,) - ... - 2/2( w )/(A4_3) - 2I(w)l(h n_2) - 2 p . Учитывая, что /(/i,) < p , получаем, что /(ся) > /(w)/(c0) - 2р(/"*' (w) + Г -2(w) + / 2(w) + /(w) +1) = = /(w)/(c0> - 2 p ~ ^ (11) •л /(w )-l Так как /(w) > 2, то неравенство (11) справедливо, кроме того, 1(ся) ^ 21(с0 ) - 2р • ■ > м - 1 Используя тот факт, что /(с0) > Я(р) = 4р • ——-, полним, что /(w )-l К) 22