АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Достаточно показать, что всякий существенный однонаправленный анну- лятор длины 2и +1 с шириной не более р и обхватом не менее Я(р) является ^-гиперболическим. Положим С = G=<a0,аи ... а„ >, а _,(С) = С , a ,(C )= < a ,,a 2,...ae)w> , причем, а_,(о() = а,+| для i е {0,... и-1}, а_,(а„) = w . Пусть q>—эндоморфизм < а о - ••• ап >-+<а,, ... a„,w>, такой что ф(а,) = й1+1 для / е {0, ... л-1}, q>(a„) = w. Пусть/ - свободноприведенное слово из < а0,а | ( ... а„ >. Так как w*1 на­ чинается и заканчивается на а*1, то фк( / ) - тоже свободно приведенное слово, кроме того, верны неравенства /(ср'(/))</(и.)/(ф'-,(Л ) для i е {1,... и} /(<p"(/))>/(W)/(/> Заметим, что /0 ( / ) = /с ( / ) , так как <7= С . 1 " М ~ I (4) Положим \ - 3/2, Я(р) = 4р -- , что возможно, так как /(w) > 2. /(иО-1 Так как все аннуляторы однонаправленные, то считаем, что £ = (р,с), где Р= ((,А-л,/,й_л+1,... t, Я0, ... t,hnA, t), где все h, е( 7 , /е { -и , ... и - 1 } с = (с_„ ,с _в+1 ,... С0, ... сл) , где С,. бС , /е{-и ... и}. Согласно выбора £, /(с0) > Я(р) и /(А,) < р для / е {-и ... и - 1}. По определению аннулятора Я^_,ср(ся_,)/*„_, ~ с п. Следовательно 1(с„) 2. 2р. (5) По определению аннулятора Ал12ф(сл_2)Ал_2 ~ сп-\- Подействуем на обе части равенства эндоморфизмом ф: Ф'^-l )Ф2(Сл-2 )Фп-2 ) = 4>(<Vi) • Верно неравенство /(ф(сл_,))>/(ф2(сл_2))-2/(ф(Ал_2)). По определению аннулятора йл^ф(сл_з)Ал_3 = сл_2. ' 21 (6)