АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

фактор-алгебра является неприводимым модулем над L. Докажем сна­ чала нильпотентность радикала Джекобсона J=J(AduL) алгебры AduL. Из определения радикала Джекобсона следует, что М, J с Поэтому, Г '= 0 . 1) Пусть В локально нильпотентный идеал алгебры L. Нетрудно заметить, что для каждых а е В и х е L существует натуральное пх такое, что xfad а)пх=0. Пусть х е Мк \Мкц, х - образ х в неприводимом модуле Mi/Mk-i, a L. - образ ал­ гебры L в алгебре эндоморфизмов End (My/M^i) модуля Обозначим через d степень полиномиального тождества выполненного в алгебре Ad L, которое существует согласно [5]. Пусть n=[d/2]2. Алгебра L порождает алгебру В в алгебре эндоморфиз­ мов End (Mi/Mk+i). Алгебра В является гомоморфным образом алгебры Ad L. Следовательно, алгебра В является примитивной W-алгеброй и, согласно тео­ реме Капланского, является центральной простой размерности не выше п над своим центром Z. Тогда модуль Mi/Mk,i является конечномерным, размерности не выше п над Z. Так как x(ada )"* = 0 и преобразование ad а модуля М//М*,, является ли­ нейным над Z, можно считать, что щ = п . То есть х (ad а)п=0 для всех х е MJMk, I, а е В. Согласно теореме Энгеля ([9], теорема 1 на стр. 52), x(adai a d а2 ... a d a j =0 для всех х ai,...,a„ еВ . Тогда (Mi/Mkn)B"=0. Далее также, как и при доказательстве леммы 2, по­ лучим (Mi/Mk+,)B=0. Из этого следует, что идеал В нильпотентный, ступени г+1. Свойство 2 следует из пункта 1. Свойство 3 следует из [ 8 ] и пункта I. 4) Пусть В нильпотентный идеал алгебры L, Ь е В и х е L - произвольные. Из леммы 2 следует, что М ad Ъ crA/,+,. Получаем fad b)r~'=0. Так как все мо­ дули А/, инвариантны относительно действия ad х, получаем (ad х ■ad Ь)гУ1-0. Следовательно, левый идеал AduL ad b нильпотентен и принадлежит радикалу Джекобсона J. Так как алгебра Adu L содержит единицу, элемент ad b принад­ лежит идеалу AduL ad b и, следовательно, радикалу J. Обратное включение следует из пункта 3. В качестве примера полупростых бесконечномерных специальных алгебр Ли артиновых и нетеровых одновременно можно рассмотреть конечную пря­ мую сумму алгебр матриц со следом равным нулю над телами, бесконечномер­ ными над основным полем, но конечномерными над своими центрами. Литература 1. Латышев В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями//Сиб. мат. журнал, 1963, 4, N 4, с. 821-829. 2. Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в /7-алгебрах//Алгебра и логика, 1974,13, N3, с. 337-360. 3. Bahturin Yuri On Lie subalgebras of associiative /7-algebras//J. Algebra, 1980, 67, N 2, p. 257-271. 193