АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 2001 г.

Отметим, что на алгебрах Ли с нулевым умножением линейное отображение является дифференцированием. Рассмотрим полупрямое произведение N ЛА [9]. Эта алгебра является раз­ решимой ступени 2. В.Н.Латышев показал,что такие алгебры являются специ­ альными [1]. Заметим, что алгебра N АА является локально нильпотентной.-но не является нильпотентной. Предположим, что идеал В алгебры NAA содержит элемент b--a,iei!+ai2el2+...Tait£ik, где элемент eik имеет наибольший номер и а,* * 0. Можно подобрать такую степень т, что у элемента b-(an-i/anjen(ada)m коэф­ фициент при е,*_/ равен нулю. И так далее. Так мы покажем, что е,* е В. Следо­ вательно, если только идеал В не включает идеал N , то он является конечно­ мерным вида /а,е/+...+сц e j. Из этого следует артиновость алгебры NAA. В специальных алгебрах Ли существует наибольший локально нильпо- тентньш идеал [ 8 ]. Естественным обобщением конечномерных алгебр Ли явля­ ются обобщенно специальные алгебры Ли, артиновые и нетеровые одновре­ менно. Для таких алгебр можно доказать аналог теоремы, справедливой для ко­ нечномерных алгебр Ли [9]. Теорема 3. Пусть L - артинова и нетерова специальная алгебра Ли. Тогда выполнены следующие утверждения. 1 ) наибольший локально нильпотентный идеал N алгебры L является нильпотентным; 2) для каждого а € N преобразо­ вание ad а нильпотентно; 3) если В такой идеал в L, что ad b нильпотентно для всех b е В, то В cr N', 4) А - множество таких элементов b е L, что adb принад­ лежит радикалу Джекобсона J(AduL) ассоциативной алгебры AduL, полученной из алгебры Ad L с помощью присоединения единицы из алгебры End L. Алгеб­ ра J(AduL) нильпотентна. Замечание. Хорошо известно (см., например, [12]), что в артиновом и не- теровом одновременно модуле М существует композиционный ряд, то есть ко­ нечная последовательность подмодулей Mi.Mi.—M ru, таких, что А/,=Л/, Mr.i~0 и для всех i=l,...,r модуль М /М^/ - неприводим. Для доказательства теоремы 3 нам потребуется следующая лемма: Лемма 2. Пусть L - артинова и нетерова обобщенно специальная алгебра Ли, I - нильпотентный идеал, е е / , MuM2,:..,Mr^i ~ последовательность идеалов L таких, что M/=L, Мг,/=0 и для любого г фактор-алгебра W/ Ч - / являет­ ся неприводимым модулем над L. Тогда для всех i=l,...,r имеет место включе­ ние Mi ad a cMi+i. Доказательство. Справедливо включение [МД] q I. Из нильпотентности идеала / следует, что некоторая степень [МД}...,1]-0. В силу неприводимости фактор-модуля М/Мщ над алгеброй L, имеют место только следующие возможности [Мк1]=М, и [МД] сг Mi-j. Первая воз­ можность противоречит нильпотентности идеала /, а из второй следует утвер­ ждение леммы. Доказательство теоремы 3. Пусть также как и в лемме 2, Mi,M2,...,M r, , - последовательность идеалов L таких, что Mt=L, Мгц - 0 и для любого i=l,...,r 192